Encuentra la integral
\[ \int \cos^3 x \; dx \]
Escribe la integral como
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int \cos^2 x \cos x \; dx\]
Usa la identidad trigonométrica \( \; \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) para escribir
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \; dx\]
Expande el integrando y reescribe la integral como
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int \cos x \; dx - \int \sin^2 x \cos x \; dx \]
Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = \sin x \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) o \( du = \cos x \; dx \). La integral está dada por
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int \cos x \; dx - \int u^2 \; du \]
Usa fórmulas de integrales para evaluar lo anterior y escribe
\[ \int \cos^3 x \; dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]
Sustituye de vuelta \( u = \sin x \) para encontrar la respuesta final
\[ \boxed { \int \cos^3 x \; dx = \sin x - \dfrac{1}{3} \sin^3 x + c } \]
